高等数学第一部分·函数与极限

高等数学第一部分·函数与极限

(Advanced mathematics·functions and limits)

一、初等数学回顾(Elementary mathematics reviews

1.实数 (REAL)

1.自然数(Natural):0,1,2,3,\dots,用N表示。

2.整数(Integer):-3,-2,-1,0,1,2,3\dots,用Z表示。

3.有理数(Rational):整数和分数统称有理数(Interger and fraction are collectirely called Rational),有理数集用Q表示。

有理数集的定义可表示为:

    \[ Q = \left. \left\lbrace \frac{m}{n} \right| m,n \in Z, n > 0, (m, n) = 1\right\rbrace \]

(m, n) = 1表示mn的最大公约数是1,即mn互质/互素(relatively prime),即\dfrac{m}{n}为既约分数。

4.无理数(Irrational):无限不循环小数(Infinite non-repeating decimal),为实数集合中有理数集的补集(complementary set),【补集也叫余集】,无理数集合可用Q^{C}表示,也可看做实数集与有理数集的差集(Subtract),用R \setminus Q表示。

5.实数(REAL):有理数和无理数统称实数,实数集记为R

6.复数(complex):记为C

7.数域(number field):某复数集合P中任意两元素经加减乘除(分母不为0)后的结果仍是P中的数,则集合P为一个数域。易知,Q,R,C等集合均为数域。

8.若要表示某个集合只取正数,如正自然数,则可表示为N_{*}N^{+}

例:证明\sqrt{2}为无理数。

证明:若\sqrt{2} \in Q,则必存在m,n \in Z,n > 0,(m,n)=1,使得

    \[ \sqrt{2}=\dfrac{m}{n} \]

两边平方得:m^{2}=2n^{2},则2m^{2}的约数,2也必为m的约数(或说m^{2}能被2整除)。

m=2k(k \in R,k\neq0),带入得(2k)^{2}=2n^{2},化得n^{2} = 2k^{2},得2也为n^{2}的约数,2也必为n的约数。

此与(m,n) = 1矛盾,故\sqrt{2} \notin Q

同理可得,若P为素数,则\sqrt{P}为无理数。

2.实数性质

1.满足加法、乘法律;

2.R为有序数域;

3.R有稠密性,即任意两实数间,都存在无限多实数。同理,有理数集、无理数集都有稠密性。

4.R有完备性(连续性),即任意两实数间的所有数都为实数。但:有理数集、无理数集没有完备性,因为任意两有理数或无理数间都有无限多有理数和无限多无理数。

5.R中,任一单调有界序列必有极限。所谓的单调,即对序列\left\lbrace a_{n} \right\rbrace而言,若有a_{n} \leqslant a_{n+1},则\left\lbrace a_{n} \right\rbrace为单调递增数列,反之则为单调递减数列。

3.绝对值

1.绝对值定义

    \[ |x| = \left\lbrace \begin{array}{ll}x,&(x\geqslant0)\\-x,&(x<0)\end{array}\right. \]

2.三个重要的绝对值性质

(1)|a+b|\leqslant|a|+|b|

(2)|a-b| = |b-a|

(3)|a-c|\leqslant|a-b|+|b-c|(三角不等式)

3.|a-b|的几何意义:数轴上a点到b点的距离。同理|a+b|可看做数轴上a点到-b点的距离。|a-b|<r表示数轴上a点到b点的距离小于r,则点a一定落在点br邻域内,即b-r<a<b+r

例:证明\bigl| |x| - |y| \bigr| \leqslant |x-y|

证:因为|x| = |x-y+y| \leqslant |x-y| + |y|

|x| - |y| \leqslant |x - y| ……(1)

交换x,y

|y| - |x| \leqslant |y - x|

又因为|x-y| = |y-x|

所以|y| - |x| \leqslant |x - y| ……(2)

根据(1)、(2),有\bigl| |x| - |y| \bigr| \leqslant |x-y|。证毕。

二、数列极限

1.极限是高等数学的基础,微商、积分都是在极限的基础之上建立的。

2.极限定义:设{a_{n}}是一个数列(序列),若存在常数l,对任意\varepsilon \in Q^{+}(不论\varepsilon多小),总有正整数N,使得当n>N时,不等式|a_{n}-l| < \varepsilon都成立,那么l为数列设a_{n}的极限。记为:

    \[{\lim_{n \to +\infty} a_{n} = l}\]

或记为:

    \[ a_{n} \to l(n\to +\infty) \]

如果不存在这样的l,则说数列{a_{n}}没有极限、极限不存在,或说{a_{n}}是发散的。

通常把这种说法称为\varepsilon-N说法。可以引入any的简写\forall,表示“对任一个”,引入exists的简写\exists,表示“存在”。

例1:证明\displaystyle \lim_{n\textrightarrow\infty}{\frac{1}{n} = 0}

证:就通项为\dfrac{1}{n}的数列而言,对\forall \varepsilon \in Q^{+},不论\varepsilon多小,为使

    \[ \left| \frac{1}{n} - 0\right| <\varepsilon. \]

只需n>\varepsilon^{-1}。因此,我们取N = [\varepsilon^{-1}] + 1,当n>N时,就有

    \[ \left| \frac{1}{n} - 0\right| <\varepsilon. \]

\displaystyle \lim_{n\textrightarrow\infty}{\frac{1}{n} = 0}

证毕。

例2:设a>1,证明\displaystyle \lim_{n\textrightarrow\infty} \sqrt[n]{a} = 1

证:\because a>1\therefore a^{\frac{1}{n}} >1a^{\frac{1}{n}} - 1 >0

就通项为\sqrt[n]{a}的数列而言,对\forall \varepsilon \in Q^{+},不论\varepsilon多小,为了使\left| \sqrt[n]{a} - 1\right| < \varepsilon,只要a^{\frac{1}{n}}<1+\varepsilon

两边取以a为底的对数化解得:n > {\log_{(1+\varepsilon)}{a}}

N= [\log_{(1+\varepsilon)}{a}]+1,当n>N时,就有\left| \sqrt[n]{a} - 1\right| < \varepsilon

\displaystyle \lim_{n\textrightarrow\infty} \sqrt[n]{a} = 1

证毕。

3.夹逼定理。

\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}为三个数列,并\exists N_0 \in N^+,使得对\forall n\geqslant N_0,都有c_n\leqslant a_n \leqslant b_n,如果\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n = \lim_{n \to \infty}c_n = l,则数列\{a_n\}也有极限,且极限为l

例1:设a>1,问通项为a_n = \dfrac{a^n}{n!}的数列是否有极限?

解:考虑n>[a]+1,有

    \[ 0\leqslant a_{n}=\dfrac{a^{[a]}}{[a]!} \cdot \dfrac{a}{[a]+1} \dots \dfrac{a}{n} < \dfrac{a^{[a]}}{[a]! \cdot \dfrac{a}{n}}\]

\because a给定后,\dfrac{a^{[a]}}{[a]!}必为一常数。

易得\displaystyle \lim_{n\textrightarrow\infty} \dfrac{a^{[a]}}{[a]! \cdot \dfrac{a}{n}} = 0

显然\displaystyle \lim_{n\textrightarrow\infty}0 = 0,且a_{n}的下界为0

由夹逼定理得:\displaystyle \lim_{n\textrightarrow\infty} \dfrac{a^{n}}{n!} = 0

例2:设k\in Z^{+} , k>1,证明:\displaystyle \lim_{n\textrightarrow\infty} {\frac{n^{k-1}}{(n-1)(n-2)\dots (n-k)} }= 0

证:令a_{n} = \dfrac{n^{k-1}}{(n-1)(n-2)\dots (n-k)},其中n>ka_{n}的分子分母同除以n^{k},得

    \[ 0 \leqslant a^{n} = \dfrac{\dfrac{1}{n}}{(1-\dfrac{1}{n})(1-\dfrac{2}{n})\dots (1-\dfrac{k}{n})} \]

n>2k时,上式分母的每项因子均大于\dfrac{1}{2},于是有:

    \[ 0 \leqslant a^{n} < 2^{k} \cdot \dfrac{1}{n}\]

\displaystyle \lim_{n\textrightarrow\infty} {0} = \lim_{n\textrightarrow\infty} {2^{k} \cdot \dfrac{1}{n}} =0

根据夹逼定理得:\displaystyle \lim_{n\textrightarrow\infty} {\frac{n^{k-1}}{(n-1)(n-2)\dots (n-k)} }= 0

证毕。

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