高等数学·函数与极限

高等数学·函数与极限

例1:设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)、奇函数h(x)使得

    \[f(x)=g(x)+h(x).\]

证:假设存在这样的在(-l,l)上的偶函数g(x)、奇函数h(x)使得

(1)   \begin{equation*}f(x)=g(x)+h(x).\end{equation*}

 

则有g(-x)=g(x)h(-x)=-h(x)

于是有:

(2)   \begin{equation*}f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x).\end{equation*}

 

 由(1)得:g(x)=f(x)-h(x),由(2)得g(x)=f(-x)+h(x),两式相加得2g(x)=f(x)+f(-x),两式相减得2h(x)=f(x)-f(-x).即

(3)   \begin{equation*}g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}.\end{equation*}

 

(4)   \begin{equation*}h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.\end{equation*}

 

将(3)、(4)相加得g(x)+h(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}=\dfrac{2f(x)}{2}=f(x).

    \begin{equation*}g(x)+h(x)=f(x).\end{equation*}

    \begin{equation*}g(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=g(x);\end{equation*}

    \begin{equation*}h(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-h(x).\end{equation*}

证毕.

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